Chủ đề 4: Quỹ tích điểm.
I.Kiến thức cơ bản:
Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:
Nếu
, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

, với A, B, C cho trước thì M đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB
Nếu
, với A, B, C, cho trước thì:
*Với k
R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC
* Với k
R+ điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng
.
* Với k
R- điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng
.
II. Bài tập minh hoạ:
Bài1: Cho
, tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:
a.
(1) b.
(2)
Giải:
a.Gọi I là điểm thoã mãn hệ thức


I là trọng tâm
.
Ta được :

(3)
Mặt khác nếu gọi E là trung điểm BC, ta được:

(4)
Thay (3), (4) vào (1) ta được:

M thuộc đường trung trực của đoạn IE.
b. Gọi K là điểm thoã mãn hệ thức :

=

tồn tại duy nhất điểm K.
Ta được:
=
. (5)
Mặt khác:
(6)
Thay (5), (6) vào (2), ta được:

M thuộc đường tròn tâm K, bán kính AE.
Bài 2: Cho
, tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:
a.
(1)
b.
(2)

Giải:
Ta biến đổi (1) về dạng:

M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.
Ta biến đổi (2) về dạng:

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:



M thuộc đường trung bình EF của
.

Bài 3:( ĐHMĐC-99):Cho
, M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a.CMR vecto
không đổi.
b.Tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:
.
Giải:
a.Ta có:



b.(Bạn đọc tự giải)

Chủ đề 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau
I.Kiến thức cơ bản:
Muốn chứng minh hai điểm A và B trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:
Hướng 1:chứng minh

Hướng 2: chứng minh
với O là điểm tuỳ ý.
II. Bài tập minh hoạ:
Bài1: Cho
. Lấy các điểm M
BC, N
AC, P
AB sao cho:


Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
Giải:Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, MNP, ta có:



Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Giải: Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ANP, CMQ và O là một điểm tuỳ ý. Ta có:


(1)
Mặt
:

(2)


(3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra:

Vậy G, J trùng nhau.

Chủ đề 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
I.Kiến thức cơ bản:
Mu ốn ch ứng minh 3 đi ểm th ẳng h àng ta c ần ch ứng minh:


(1) Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:
Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết
Hướng 2:Xác định vectơ
và
thông qua một số tổ hợp trung gian.
II. Bài tập minh hoạ:
Bài1: Cho
, lấy các điểm I,J thoã mãn:


Chứng minh Ị đi qua trọng tâm của
.
Giải:
Viết lại (1) dưới dạng:
(3)
Biến đổi (2) về dạng:
(4)
Trừ theo vế (4) cho (3) ta được:

I, J, G thẳng hàng.
Bài 2: Cho
. Đường tròn nội ti ếp
tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo